Oswaldo Pessoa – Aula 3 – A Matemática Antiga 1/4

Teoria do Conhecimento e Filosofia da Ciência I – Osvaldo Pessoa Jr. – 2010

Capítulo III

A MATEMÁTICA ANTIGA

1. A Matemática na Grécia Antiga

A matemática grega, partindo de Tales de Mileto (c. 625-546 a.C.) e Pitágoras de Samos (c. 575-495 a.C.), se caracterizou pelo esforço de demonstrar de maneira rigorosa os seus resultados. Os pitagóricos, reunidos onde hoje é a Sicília, defendiam que todas as relações científicas eram expressas por meio de números naturais (1, 2, 3, …) ou razões entre tais números, os chamados números racionais, ½, ¾, etc. Em conseqüência desta concepção, supunham que o espaço, o tempo e o movimento eram constituídos de elementos discretos.

Ao pitagórico Hipaso de Metaponto (nascido circa 500 a.C.) é atribuída a descoberta dos números irracionais, como 2 , que seria a medida da diagonal de um quadrado de lado Esta descoberta era vista como um problema para a filosofia pitagórica, e conta a lenda que Hipaso teria sido lançado ao mar por seus colegas, em represália.11 Veremos no cap. II outro problema para a concepção pitagórica: os paradoxos de Zenão, que punham em xeque a concepção de que o espaço e o tempo são divisíveis.

Os matemáticos gregos passaram a dividir a matemática na teoria dos números, que estuda entidades discretas ordenadas, e na geometria, que envolve o contínuo. Essa divisão transparece nos Elementos, obra escrita por Euclides de Alexandria em torno de 300 a.C. Ele reuniu os trabalhos de Eudoxo, Teeteto e outros matemáticos, sistematizou-os, melhorou as demonstrações, e coligiu sua obra de acordo com o método axiomático. Os Elementos partem de definições, axiomas (noções comuns, princípios auto-evidentes) e postulados (suposições geométricas). O número 1 foi tratado como a “unidade”, e os outros como “números” propriamente ditos. O número 0 não estava presente, e só foi introduzido na Índia, onde se usava o sistema numérico posicional, juntamente com os números negativos, pelo matemático Brahmagupta, em 628 d.C.

 

Empédocles

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O mais extravagante dos primeiros filósofos da Itália grega foi Empédocles,  que surgiu na metade do século V. Nasceu em Acragas, cidade costeira ao sulda Sicília, atual Agrigento. O porto desta cidade foi batizado de Porto Empédocles, embora isto não seja um sinal de uma perene veneração ao filósofo, mas antes à paixão, no Risorgimento italiano, de rebatizar locais em homenagem às glórias passadas da Itália.

Empédocles nasceu em uma família aristocrática que possuía um haverás de cavalos premiados. Na política, todavia, possui a fama de ter sido um democrata, do qual se conta ter frustrado um plano para tornar a cidade uma ditadura. Conta a história que os agradecidos cidadãos quiseram fazê-lo rei, mas ele teria declinado do cargo, preferindo seu modo de vida frugal como médico e conselheiro (DL 8, 63). A sua ausência de ambição não era contudo sinal de falta de vaidade. Em um de seus poemas ele se jacta de que onde quer que vá homens e mulheres o pressionam em busca de aconselhamento e tratamento. Ele afirmava possuir drogas para retardar a velhice, além de conhecer alguns encantamentos para controlar o clima. No mesmo poema, de modo franco, ele diz ter alcançado a condição de divindade (DL 8, 66).

Muitas tradições bibliográficas, nem todas possíveis do ponto de vista cronológico, fazem de Empédocles em  

discípulo de Pitágoras, de Xenófanes e de Parmênides. É certo que ele imitou Parmênides ao escrever um poema em forma hexametral, “Sobre a natureza”. Este poema, dedicado a seu amigo Pausanias, continha cerca de duas mil linhas, das quais chegou até nós apenas uma quinta parte. Ele também escreveu um poema religioso, “Purificações”, do qual muito menos se preservou. Os estudiosos não chegaram a um consenso sobre a qual dos dois poemas devem ser agregadas a maior parte das citações dispersas que sobreviveram – alguns, na verdade, julgam que os dois poemas sejam fragmentos pertencentes a uma única obra. Peças adicionais desse quebra-cabeça textual foram recuperadas quando quarenta fragmentos de papiro foram identificados nos arquivos da Universidade de Estrasburgo em 1994. Como poeta, Empédocles era mais fluente que Parmênides, alem de mais versátil. Segundo Aristóteles, ele teria escrito um épico sobre a invasão da Grécia por Xerxes, e de acordo co

m outras tradições teria o autor de muitas tragédias (DL 8, 57).

A filosofia da natureza de Empédocles pode ser considerada, de certo ponto de vista, uma síntese do pensamento dos filósofos Jônicos. Como vimos, cada um deles havia escolhido certa substância como princípio básico ou dominante do universo: Tales havia privilegiad

Empédocles 01

o a água, Anaxímenes o ar, Xenófanes a terra e Heráclito o fogo. Para Empédocles, todas essas quatro substâncias mantinham-se em iguais condições como ingredientes fundamentais, ou “raízes”, como ele dizia, do universo. Essas raízes sempre existiram, ele declarava, mas elas se misturaram entre si em proporções variadas, de modo a produzir o desenho familiar do mundo assim como as coisas do céu.

 

Dessas quatro saiu tudo o que foi, é e sempre será:

Árvores, animais e seres humanos, machos e fêmeas todos,

Pássaros do ar e peixes gerados pela água brilhante;

Os envelhecidos deuses também, de há muito louvados nas alturas.

Estes quatro são tudo o que há, cada um se entranhando no outro

E, ao misturar-se, variedade ao mundo dando.

(KRS 355)

O que Empédocles denominava “raízes” era aquilo que Platão e pensadores gregos posteriores chamavamstoitheia, uma palavra utilizada para denominar as silabas de uma palavra. A tradução latina, elementum, da qual deriva nossa palavra “elemento”, compara as raízes não a silabas, mas às letras do alfabeto: um elemntum é um LMNto. Filósofos e cientistas atribuíram ao quarteto de elementos de Empédocles um papel fundamental na física e na química até o advento de Boyle, no século XVII. Na verdade, pode-se alegar que ele ainda permanece conosco, numa forma alterada. Empédocles pensava seus quatro elementos como quatro tipos diferentes de matéria; nós consideramos o sólido, o líquido e o gasoso os três estados da matéria. Gelo, água e vapor poderiam ser, para Empédocles, instancias específicas de terra, água e ar, enquanto para nós eles são três estados da mesma substância; H2O. Não é irracional pensar no fogo, e especialmente no fogo do sol, como um quarto elemento de igual importância. Alguém poderia dizer que o surgimento no século XX da ciência da física do plasma, que estuda as propriedades da matéria a temperaturas solares, recuperou a paridade do quarto elemento de Empédocles aos outros três.

 

Empédocles Elementos 01

Aristóteles louvava Empédocles por ter percebido que uma teoria do cosmos não poderia apenas identificar os elementos do universo, mas deveria atribuir causas para o desenvolvimento e a mistura dos elementos para formar os componentes vivos e inanimados do mundo real. Empédocles atribuiu esse papel ao Amor [Philia] e ao Ódio [Neikos]; O Amor combinando os elementos, e o Ódio separando-os. Em determinado momento as raízes crescem para ser uma entre muitas, em outra ocasião dividem-se para ser muitas a partir de uma. Estas coisas, ele afirmou, jamais cessam esse intercâmbio contínuo, unindo-se às vezes por força do Amor, separando-se depois umas das outras pela força do Ódio.

O Amor e o Ódio são os antepassados pitorescos das forças de atração e repulsão que figuraram na teoria da física através dos séculos. Para Empédocles, a história é um ciclo em que algumas vezes o Amor é dominante, e em outras é o Ódio. Sob a influência do Amor, os elementos se combinam em uma esfera homogênea [sphairos], harmoniosa e resplandecente, herdeira do univeso de Parmênides. Sob a influência do Ódio, os elementos separam, mas assim que o Amor começa a ganhar o território que havia perdido aparecem todas as diferentes espécies de seres vivos (KRS 360). Todos os seres compostos, como os  animais, as aves e os peixes, são criaturas temporárias que surgem e partem; somente os elementos são eternos, e somente o ciclo cósmico continua sempre.

Para explicar a origem das espécies vivas, Empédocles concebeu uma notável teoria da evolução a partir da sobrevivência do mais apto. No início, carne e osso surgiram como composições químicas de elementos, a carne sendo constituída de fogo, ar e água em partes iguais, o osso constituindo-se de duas partes de água, duas de terra e quatro de fogo. A partir desses constituintes, formaram-se membros e órgãos do corpo não unidos; olhos fora das cavidades, braços sem ombros e rostos sem pescoços (KRS 375-6). Estes órgãos vagaram por aí até encontrar pares ao acaso; fizeram uniões, que nessa primeira fase resultaram com freqüência não muito adequadas. Disso resultaram várias monstruosidades: homens com cabeça de boi, bois com cabeça de homem, criaturas andróginas com rostos e seios na frente e nas costas (KRS 379). A maioria desses organismos do acaso eram frágeis ou estéreis e somente as estruturas mais bem adaptadas sobreviveram para tornar-se o homem e as espécies animais que conhecemos. Sua capacidade de reproduzir foi algo devido ao acaso, não a um plano (Aristóteles, Fis. 2, 8, 198b29).

Aristóteles prestou tributo a Empédocles por ter sido o primeiro a notar o importante princípio biológico de que diferentes partes do organismos vivos não assemelhados podem possuir funções homologas, a saber, azeitonas e ovos, folhas e penas (Aristóteles, GA 1, 23, 731a4). Mas ele demonstrava desprezar a tentativa de Empédocles de reduzir a teleologia ao acaso, e por muitos séculos os biólogos nisso acompanharam Aristóteles e não Empédocles, o qual riu por último quando Darwin o saudou por “retirar das sombras o princípio da seleção natural”[i].

Empedocles

Empédocles empregou seu quarteto de elementos para oferecer uma explicação da senso-percepção, baseado no princípio de que o semelhante é reconhecido pelo semelhante. Em seu poema “Purificações” ele combinou sua teoria da matéria com a doutrina pitagórica da metempsicose. Os pecadores – sejam divinos ou humanos – são punidos quando o Ódio aprisiona suas almas em diferentes tipos de criaturas na terra e no mar. Um ciclo de reencarnação oferece a esperança de um eventual deificação para classes privilegiadas de homens: videntes, bardos, doutores e príncipes (KRS 409). Naturalmente, Empédocles alegava identificar-se com todas essas profissões.

Em sua escrita, Empédocles move-se erraticamente entre um estilo austeramente mecânico e um outro de caráter critico-religioso. Algumas vezes ele faz uso de nome divinos para seus quatro elementos (Zeus, Hera, Hades e Nestis) e identifica o seu Amor com a deusa Afrodite,  a quem ele homenageia em termos que antecipa a frente “Ode à alegria” de Schiller (KRS 349). Sem dúvida, sua afirmação da própria divindade pode ser reduzida da mesma maneira pela qual ele demitologiza os deuses Olímpicos, embora tenha sido o que chamou a atenção de seus pósteros, especialmente na lenda sobre sua morte.

Conta a história que uma mulher chamada Pantéia, declarada morta pelos médicos, foi milagrosamente restituída à vida por Empédocles. Para comemorar, ele ofereceu um banquete sacrificial a oitenta convidados na casa de um homem rico aos pés do Etna. Quando os outros convidados se recolheram para dormir, Empédocles ouviu chamaram seu nome dos céus. Ele dirigiu-se rapidamente ao cume do vulcão, quando então, nas palavras de Milton,

Para ser considerado

Um Deus, saltou imprudente nas chamas do Etna.

(Paraíso perdido, III, 470)

Matthew Arnold dramatizou essa história em seu Empédocles no Etna, em que faz o filósofo pronunciar estes versos à beira da cratera:

Este coração não mais brilhará; sua condição

Não mais será a de um homem vivo, Empédocles!

Nada senão uma consumidora chama de pensamento –

Mas mente nua somente, incansável na eternidade!

Para os elementos dos quais veio

Tudo irá retornar

Nossos corpos à terra,

Nosso sangue à água.

O calor ao fogo,

O fôlego ao ar.

Estes nasceram de fato, serão de fato enterrados –

Mas a mente?

(linhas 326-338)

Arnold concede ao filósofo, antes de seu mergulho final, a esperança de que, como recompensa por seu amor à verdade, sua mente jamais perecerá totalmente.

KENNY, Anthony. Uma Nova História da Filosofia Ocidental. Volume I. Filosofia Antiga. Edições Loyola. pp.45-49

 


[i] Charles DARWIN, Apêndice à sexta edição de The Origin of Species, apud. A. GOTTLIEB, The Dream of Reason: A history of western philosophy frmo the greeks to the renaissance, London, Allen Lane, 2000, 80.

Pitágoras

 Pitágoras recomendando o vegetarianismo

Na Antiguidade, Pitágoras dividiu com Tales o crédito pela introdução da filosofia no mundo grego. Nascido em Samos, um ilha da costa da Ásia Menor, por volta de 570 a. C., ao quarenta anos emigrou para Crotona, no extremo da Itália, onde teve papel destacado na vida política da cidade até ser banido em meio a uma violenta revolução por volta de 510 a. C. Mudou-se para uma localidade vizinha a Metaponto, onde morreu na virada do século. No período em que viveu em Crotona, Pitágoras fundou uma comunidade semi-religiosa que sobreviveu a seu fundador e se dispersou por volta de 450 a. C. Atribui-se a ele a invenção da palavra “filósofo”, na ocasião em que, em vez de declarar-se um sábio, ou homem de saber (sophos), ele disse com modéstia ser apenas um amante da sabedoria (philosophos) (DL 8,8). Os detalhes sobre sua vida estão submersos em lendas, mas não restam dúvidas sobre ter ele sido um praticante tanto da matemática como do misticismo.  Nestes dois campos sua influência intelectual, reconhecida ou implícita, foi forte durante a Antiguidade, de Platão a Porfírio.

A descoberta dos pitagóricos de que havia uma relação entre os intervalo musicais e as razões numéricas resultou na crença de que o estudo da matemática era a chave para o entendimento da estrutura e da ordem do universo. A astronomia e a harmonia, diziam, eram ciências irmãs, uma para os olhos e a outra para os ouvidos (Platão, Rep. 530d). Contudo, apenas dois mil anos depois Galileu e seus seguidores demonstraram em que sentido era verdade que o livro do universo é escrito em números. No mundo antigo a aritmética estava por demais vinculada á numerologia para que pudesse promover o progresso científico, e os autênticos avanços científicos do período ( como a zoologia de Aristóteles ou a medicina de Galeno) foram conquistados sem o concurso da matemática.

A comunidade de Pitágoras em Crotona foi o protótipo de muitas instituições similares: a ela seguiu-se a Academia de Platão, o Liceu de Aristóteles, o Jardim de Epicuro e muitas outras. Algumas dessas comunidades eram instituições legais, outras menos formais; algumas se assemelhavam a um moderno instituto de pesquisas, outras eram mais próximas de mosteiros. Os seguidores de Pitágoras dividiam sua propriedade e viviam sob a égide de regras ascéticas e cerimoniais, como manter o silêncio, não partir o pão, não recolher os farelos, não atiçar o fogo com uma espada, calçar sempre o pé direito antes do esquerdo, e assim por diante. Os pitagóricos não eram, para início de conversa, vegetarianos radicais, embora evitassem certos tipos de carne, peixe e aves. A mais conhecida de suas restrições era a proibição de comer feijão (KRS 271-2, 275-6).

As regras relativas à dieta eram atribuídas às crenças de Pitágoras sobre a alma, que, segundo ele, não morria com o corpo, mas migrava para algum outro lugar, talvez um animal de uma outra espécie. Alguns pitagóricos desenvolveram essa regra transformando-a na crença em um ciclo cósmico de três mil anos: uma alma humana, apos a morte (do corpo), entraria, morte apos morte, em todo tipo de criatura da terra, do mar ou do ar, para finalmente retornar a um corpo humano a fim de que o ciclo tornasse a se repetir (Heródoto 2, 123; KRS 285). Em relação a Pitágoras, contudo, seus seguidores acreditavam que ele se tornara um deus apos morrer. Escreveram a seu respeito biografias repletas de maravilhas, atribuindo a ele uma segunda visão e o dom da bilocação; diziam que tinha uma coxa de ouro e era filho de Apolo. Numa feição mais prosaica, a expressão Ipse dixit ( ele próprio disse ) teria sido concebida em sua homenagem.

 

KENNY, Anthony. Uma Nova História da Filosofia Ocidental. Volume I. Filosofia Antiga. Edições Loyola. PP. 31-33

Aristóteles e As Quatro Causas na História da Filosofia

 

A história da filosofia não se inicia com Aristóteles, mas a historiografia da filosofia sim. Aristóteles foi o primeiro filósofo que, de forma sistemática, estou, registrou e fez a critica das obras dos filósofos anteriores. No primeiro livro da Metafísica, ele resume os ensinamentos de seus predecessores a partir de seus ancestrais intelectuais distantes. Pitágoras e Tales, até Platão, seu professor por vinte anos. Até os dias de hoje Aristóteles continua a ser uma das mais exaustivas, e das mais confiáveis, fontes de nossa informação sobre a filosofia em sua infância.

 

As Quatro Causas

 

Aristóteles oferece uma classificação dos primeiros filósofos gregos de acordo com a estrutura de seu sistema das quatro causas. Para ele, a investigação filosófica é acima de tudo uma investigação sobre as causas das coisas, das quais há quatro diferentes tipos:

  1. A causa material
  2. A causa eficiente
  3. A causa formal
  4. A causa final

Vejamos, a partir de um exemplo grosseiro, o que ele tinha em  mente: quando Alfredo prepara um risoto, as causas materiais do risoto são os ingredientes que ele utiliza para prepará-lo, a causa eficiente é ele mesmo, o cozinheiro, a causa formal é a receita e a satisfação dos clientes do restaurante é a causa final. Aristóteles acreditava que um entendimento científico do universo exigia uma investigação sobre a operação no mundo das causas de cada um desses tipos (Met. A 3, 983a24-b17).

Os primeiros filósofos, que viviam na área costeira da Grécia, na Ásia Menor, concentram-se na causa material: eles buscavam os ingredientes fundamentais do mundo em que vivemos. Tales e os que o sucederam propuseram a seguinte questão: Em que nível fundamental, seria o mundo feito de água, ar, fogo, terra ou de uma combinação de todas essas causas? (Met. A3, 983b20-984a 17). Aristóteles pensava que mesmo se tivéssemos uma resposta para esta questão isso claramente não bastaria para satisfazer nossa curiosidade científica. Os ingredientes de um prato não se misturam por si sós, é necessário haver um agente que opere sobre eles, cortando, misturando, mexendo, aquecendo etc. Alguns desses primeiros filósofos, conta Aristóteles, percebiam o problema e ofereceram conjecturas a respeito dos agentes de mudança e desenvolvimento no mundo. Algumas vezes seria um dos próprios ingredientes – o fogo talvez a sugestão mais promissora, dada sua condição de menos tórpido dos elementos. Com maior freqüência, no entanto, seria algum agente, ou um par de agente, ao mesmo tempo mais abstratos e imaginativos, como o Amor, o Desejo, a Ira ou o Bem e o Mal (Met. A 3-4, 984b8-31).

 Nesse ínterim, na atual Itália – e mais uma vez de acordo com Aristóteles -, havia em torno a Pitágoras filósofos de inclinação matemática cujas investigações tomaram um rumo bem diverso. Uma receita, antes de nomear seus ingredientes, deve conter uma porção de números – tantos gramas disto, tantos litros daquilo. Os pitagóricos tinham mais interesse no números da receita do mundo do que os próprios ingredientes. Ele supunham, diz Aristóteles, que os elementos dos números eram os elementos de todas as coisas, e que o universo inteiro era uma escala musical. Ele foram inspirados na busca por sua descoberta de que a relação entre as notas de um escala tocada em uma lira correspondia a diferentes razões numéricas entre os cumprimentos de suas cordas. A partir disso, eles generalizaram a noção de que as diferenças qualitativas poderiam ser a conseqüência de diferenças numéricas. Sua investigação, nas palavras de Aristóteles, foi uma investigação sobre as causas formais do universo (Met. A-5, 985b23-986b2).

Chegando a seus predecessores imediatos, Aristóteles afirma que Sócrates preferiu concentrar-se na ética antes que no estudo do mundo natural, enquanto Platão, em sua teoria filosófica, combinou as abordagens das escolas de Tales e Pitágoras.  Mas a teoria das Idéias de Platão, apesar de ser o mais abrangente  sistema científico até então concebido, parecia a Aristóteles – por razões que ele resume na Metafísica e desenvolverá em alguns de seus tratados – insatisfatória em vários níveis. Havia tantas coisas a explicar, e a teoria das Idéias apenas adicionava novos itens a demandar explicações: as idéias não ofereciam uma solução, elas e tornavam parte do problema (Met. A5, 990b1ss).

A maioria das dissertações que se iniciam com um apanhado da literatura existente buscam demonstrar que todo o trabalho feito até então deixou um espaço que será agora preenchido pela pesquisa original de ser autor. A Metafísica de Aristóteles não é exceção. Seu não muito disfarçado plano é demonstrar como os filósofos anteriores negligenciaram o membro remanescente do quarteto de causas, a causa final, que deveria desempenhar o papel mais importante em sua própria filosofia da natureza (Met. A5, 988b6-15). A filosofia primeira, ele conclui, está, quanto a todos os seus temas, cheia de balbucios, uma vez que em suas origens era não mais que uma criança (Met. A5, 993a 15-17).

Um filósofo de nossos dias, ao ler os fragmentos que restaram dos primeiros pensadores gregos, impressiona-se não tanto pelas questões sobre as quais eles primeiro refletiam, mas pelos métodos de que fizeram uso para dar respostas a elas. Afinal, o Genesis nos oferece respostas para as quatro questões causais propostas por Aristóteles. Se indagarmos sobre a origem do primeiro ser humano, por exemplo, ser-no-á dito que a causa eficiente é Deus, que a causa material foi o barro, que a causa formal foi a imagem e semelhança de Deus e que a causa final foi para que o homem tivesse domínio sobre os peixes e os mares, sobre as aves do ar e sobre toda criatura viva sobre a terra. E o Genesis nem é uma obra filosófica.

Por outro lado, Pitágoras é mais célebre não por ter respondido a qualquer das questões aristotélicas, mas por provar o teorema que afirmava que o quadrado da hipotenusa de um triângulo-retângulo é igual à soma dos quadrados dos lados a ela opostos. Quanto a Tales, os gregos a ele posteriores acreditavam ter sido o primeiro a fazer uma previsão exata de um eclipse, no ano 585 a.C. Os dois feitos, seguramente, são conquistas nos campos da geometria e da astronomia, mas não da filosofia.

O fato é que a distinção entre religião, ciência e filosofia não era então tão nítida quando veio a ser em séculos posteriores. As obras de Aristóteles e de seu mestre Platão forneceram um modelo de filosofia para qualquer é época, e até hoje qualquer um que faça uso do titulo de filósofo alega ser um de seus herdeiros. Escritores de publicações de filosofia do século XX podem ser observado utilizando as mesmas técnicas de análise conceitual, e com freqüência repetindo ou refutando os mesmo argumentos teóricos, exatamente como se apresentam nos escritos de Platão e Aristóteles. Mas naqueles escritos há muito mais que não seria atualmente considerado discussão filosófica. A partir do século VI, elementos de religião, ciência e filosofia fermentaram juntos em um único caldo de cultura. Do nosso ponto de vista temporal, filósofos, cientistas e pensadores podem todos recordar esses primeiros pensadores como seus antepassados intelectuais.

 

KENNY, Anthony. Uma Nova História da Filosofia Ocidental. Volume I. Filosofia Antiga. Edições Loyola. PP. 25-8