Osvaldo Pessoa – Aula 9 – Tradições de Pesquisa na Astronomia Antiga (4/4) Final

4. A Tradição de Pesquisa dos Epiciclos e Excêntricos

Um fator adicional para a não aceitação da teoria heliocêntica foi o surgimento de uma nova estratégia matemática para se salvarem as aparências. Um dos problemas do modelo  de Eudoxo fôra explicar a desigualdade das estações. A teoria heliocêntrica em nada contribuía para explicar este problema.

Porém, um modelo novo teve bastante sucesso neste sentido: os modelos “gêmeos” dos epiciclos e círculos excêntricos, que preservava o geocentrismo e os movimentos circulares. Um epiciclo é o movimento circular de um planeta P em torno de um ponto C, que por sua vez orbita no círculo “deferente” em torno de um centro E onde se localiza a Terra (Fig. IX.6). Um excêntrico é o movimento circular de P em torno de um ponto fixo O que não coincide com o centro da Terra E (Fig. IX.7). Pode-se mostrar que ambos os modelos são equivalentes. Quem introduziu os epiciclos e excêntricos para descrever os movimentos de todos os planetas, do Sol e da Lua foi Apolônio, em 200 a.C., aproximadamente (seção IX.3).

A Fig. IV.8 ilustra como descrever a retrogradação dos planetas a partir de um epiciclo que gira no mesmo sentido que o deferente. Outro sucesso da teoria foi dar conta, de maneira bastante simples, da observação de Calipo de que, a partir do equinóxio de primavera, as estações têm 94, 92, 89 e 90 dias.

O modelo de Apolônio foi aperfeiçoado pelo maior astrônomo da Antigüidade, Hiparco de Nicéia (190-126 a.C.), que ajustou os valores numéricos que melhor descreviam as observações. Hiparco também atacou o problema mais difícil da Lua, tendo tido acesso aos dados babilônicos de eclipses, fato que só foi possível no Helenismo, em conseqüência da maior integração das diferentes nações. A astronomia helênica também fez grandes avanços na parte experimental, desenvolvendo instrumentos de observação mais precisos. A Hiparco é atribuído a “dioptria de bastão de 4 cúbitos”. A dioptria é um bastão com duas fendas separadas, através das quais se pode olhar uma estrela ou corpo celeste. É possível que Hiparco já usasse também o astrolábio armilar, instrumento que permitia medir a altura de um astro acima do horizonte.

Plínio conta que Hiparco fez uma observação de uma estrela “nova”. Para averiguar se no futuro outras mudanças ocorreriam nas estrelas fixas, resolveu catalogar todas as estrelas visíveis, ajudado pelos instrumentos que desenvolveu. Catalogou 850 estrelas, fornecendo alatitude e longitude de cada uma, o que viria servir de base para o catálogo de Ptolomeu. Com estes dados, Hiparco descobriu a precessão dos equinócios: o eixo da Terra descreve um movimento rotatório de 50 segundos de arco por ano, o que resulta num período de 26.000 anos.

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3. Teorias Geocinéticas na Astronomia

Ao examinarmos a astronomia do séc. IV, deixamos de mencionar as opiniões de Heráclides de Ponto (c. 388-310 a.C.), contemporâneo de Aristóteles. São dele as idéias de que a Terra gira em torno de seu próprio eixo (e portanto a esfera das estrelas é fixa), e de que Vênus e Mercúrio giram em torno do Sol. Uma das razões pelas quais a hipótese de que a Terra gira não foi aceita é que tal hipótese parecia implicar que corpos em queda sofreriam um desvio (para oeste), assim como asnuvens. Quanto ao movimento de Vênus e Mercúrio, trata-se da primeira proposta envolvendo epiciclos.

No séc. III, a abordagem matemática continuou tendo bastante influência na astronomia, que foi marcada por duas novas idéias: a hipótese heliocêntrica de Aristarco de Samos (310-230 a.C.) e desenvolvimento da idéia de epiciclo, com Apolônio.

As únicas obras que restaram de Aristarco apresentam um método para se medirem as distâncias da Lua e do Sol. No entanto, vários autores mencionam sua hipótese heliocêntrica, segundo a qual o Sol e a esfera das estrelas estariam fixas e a Terra circularia em torno do Sol. Salientou também que a esfera das estrelas deve estar muitíssimo distante, para explicar porque não se observava a “paralaxe” das estrelas: se a Terra se desloca no espaço, seria de se esperar que o ângulo em que as estrelas aparecem (por exemplo, em relação ao pólo Norte) tivesse uma pequena variação ao longo do ano (a paralaxe só seria observada por Friedrich Bessel em 1840). Aristarco também aceitava a hipótese de Heráclides, de que a terra gira em torno de seu próprio eixo.

O único outro astrônomo importante que aceitou a hipótese heliocêntrica foi Seleuco da Selêucia (c. 190-130 a.C.). A resistência em se aceitar as idéias “geocinéticas” (ou seja, de movimento da Terra) de Aristarco envolveu quatro motivos: (i) A concepção aristotélica do movimento natural dos corpos graves sugeria que o centro do universo coincidia com o centro da Terra. (ii) O argumento de que, se a Terra estivesse se movendo, haveria um efeito visível no movimento de objetos no ar. (iii) A ausência de paralaxe estrelar. (iv) O surgimento do modelo dos epiciclos.

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2. A Matemática Helenista

A grande novidade da matemática grega do séc. V a.C. havia sido a busca de demonstrações rigorosas de teoremas. Dentro desta tradição, o mais antigo texto que  chegou até nós de maneira integral foram os Elementos de Euclides, escrito em torno de 300 a.C. em Alexandria.33 Ele reuniu os trabalhos de Eudoxo, Teeteto e outros matemáticos, sistematizouos, melhorou as demonstrações, e coligiu sua obra de acordo com o método axiomático, que já havia sido utilizado, mas que ele levou ao extremo. Além dos Elementos, que possui 13 volumes versando sobre geometria plana, teoria dos números e geometria sólida, Euclides escreveu sobre astronomia, óptica e teoria musical.

Nos Elementos, Euclides partiu de definições, opiniões comuns (axiomas, princípios auto-evidentes) e postulados (suposições geométricas). O número 1 foi tratado como a “unidade”, e os outros como “números” propriamente ditos, refletindo a noção parmenidiana de que o uno é indivisível. Dos cinco postulados básicos da geometria, destaca-se o último, que diz que dados uma reta e um ponto fora dela, em um plano, então há apenas uma paralela à reta que passa pelo ponto.

Passou então a demonstrar teoremas e a resolver problemas de construção. Dois métodos de argumentação se destacavam: o método da exaustão (devido a Eudoxo), que é exemplificado pela obtenção (aproximada) da área de um círculo pela geração de polígonos regulares inscritos com cada vez mais lados; e o método da redução ao absurdo, no qual nega-se a tese a ser provada e deduz-se uma contradição ou absurdo (por exemplo, a tese de que o número de primos é infinito).

Algumas décadas depois, apareceu o grande Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.). Escreveu sobre aritmética, geometria, óptica, estática, hidrodinâmica e engenharia, mas boa parte de sua obra se perdeu, restando apenas 9 tratados. No “Contador de Areia”, calculou quantos grãos de areia caberiam no universo inteiro, e para isso fez estimativas interessantes sobre o tamanho do universo, que concluiu que tivesse um diâmetro de 100 trilhões de estádios (1 estádio ≈ 157 metros). Chegou à cifra de 1063 grãos de areia! Nestes cálculos, Arquimedes introduziu uma notação plenamente satisfatória para exprimir números grandes. Em geometria, calculou o valor de π como 3 1/7 > π > 3 10/71 , e encontrou os valores aceitos para a superfície e volume de uma esfera. Seguiu o método de Euclides, fazendo uso de vários teoremas euclidianos em suas demonstrações. Arquimedes também utilizou princípios da estática (a lei da alavanca) em seus problemas de geometria, e concebeu áreas como somas de linhas paralelas. No entanto, salientou que tais métodos mecânicos devem ser usados apenas para descobrir respostas (síntese), mas não para demonstrá-las rigorosamente (análise). Em geral, na tradição grega, os matemáticos expunham apenas a análise e não a síntese.

Em seus estudos de mecânica, Arquimedes utilizou métodos da geometria. Em seu livro Do Equilíbrio dos Planos, sistematizou os teoremas da estática, apesar de não ter sido o primeiro a formular a lei da alavanca, que se encontra no corpo aristotélico. Sua hidrostática foi apresentada no tratado Dos Corpos Flutuantes, mas não faz menção da estória contada por Vitrúvio, de que teria saído da banheira gritando “Eureca!” ao descobrir como determinar se a coroa de ouro do rei Hiero estava adulterada com prata.

Outros dois matemáticos devem ser mencionados. Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) era amigo de Arquimedes, escrevia sobre temas de várias áreas e tornou-se chefe da Biblioteca de Alexandria. Descobriu um método para encontrar números primos e uma nova solução ao problema de encontrar um cubo de volume duas vezes maior do que outro. Seu mais importante trabalho, porém, foi na aplicação da matemática à geografia. Fez o primeiro mapa mundi com latitude e longitude.

Eratóstenes calculou também a circunferência da Terra, a partir de observações da sombra de um gnomon, ao meio dia, em duas cidades: Siene, na África, e Alexandria, localizada ao norte da primeira. As duas medições foram feitas na mesma hora, no solstício de verão, quando o Sol não deixa sombra no gnomon em Siene, localizada no Trópico de Câncer (Fig. IX.4). Seu valor de 39.690 km se aproxima bem do valor aceito atualmente (40.009 km), apesar de haver uma incerteza quanto ao valor de conversão da unidade “estádio”. Apolônio de Perga (c. 262-190) era mais jovem do que Eratóstenes e Arquimedes. Seu trabalho matemático mais importante é o Das Cônicas, onde investigou sistematicamente as seções do cone, que são a elipse, a parábola e a hipérbole.

33 As seções IX.2, 3, 4 e 6 seguem LLOYD (1973), op. cit. (nota 25), pp. 33-74, 113-35. As Figs. IX.4, IX.6 a 8, e X.1 foram tiradas deste livro.

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1. O Modelo Astronômico das Esferas Concêntricas

Já vimos na seção I.1 que os babilônicos haviam registrado sistematicamente observações astronômicas e conseguido prever a ocorrência de diversos fenômenos celestes com base em regularidades aritméticas. No séc. IV a.C., a principal contribuição astronômica dos gregos foi a introdução de modelos geométricos para dar conta das observações. Quem mais contribuiu para a elaboração desses modelos, neste período, foi o matemático Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), membro da Academia de Platão32.

O Timeu de Platão já revelara que os gregos distinguiam dois tipos de movimentos celestes: (i) o movimento da esfera de estrelas fixas, compartilhado por todos os corpos celestes; (ii) os movimentos independentes do Sol, Lua e planetas ao longo da “eclítica” – um círculo oblíquo ao círculo descrito pelo primeiro movimento –, mais lentos e em sentidos opostos ao das estrelas. Já se sabia também que Vênus e Mercúrio têm a mesma velocidade média que o Sol.

Platão formulou, então, o problema de como explicar movimentos aparentes dos planetas a partir de movimentos uniformes e ordenados, ou seja, apenas a partir de movimentos circulares uniformes (ou seja, com velocidade angular constante). A dificuldade era explicar as paradas e movimentos retrógrados dos planetas (Fig. IX.1). Como explicá-los?

 Eudoxo conseguiu resolver o problema construindo um modelo que envolvia 4 esferas concêntricas para cada planeta (Fig. IX.2). (1) A esfera externa gira com o movimento das estrelas fixas, de leste a oeste, em 24 horas. (2) A segunda esfera gira com a inclinação da eclítica (23°), representando o movimento aparente do planeta ao longo do zodíaco, movendo de oeste a leste, completando uma rotação em 30 dias. (3) A terceira esfera, cujo período também é de um mês, dá conta do movimento de latitude, ou desvio da eclítica. A Lua exibe tal movimento, mas não o Sol. (4) Uma quarta esfera, junto com a terceira, descreve uma figura com a forma do algarismo “8”, figura esta conhecida como “hipopédia”

(Fig. IX.3). O eixo da terceira esfera é perpendicular ao da segunda, ao passo que o eixo da quarta é levemente inclinado em relação à terceira, girando em sentido oposto com a mesma velocidade angular.

Eis então o modelo das esferas concêntricas (ou “homocêntricas”) de Eudoxo, que resolveu o problema de Platão, usando apenas movimentos circulares uniformes! Estimou bem os dados para cada planeta, para o Sol e para a Lua (estes dois só necessitavam três esferas cada). A teoria, porém, não explicava tudo. i) Para um mesmo planeta, os retrocessos variam em forma, tamanho e duração, o que não era explicado por seu modelo. ii) Sua teoria funcionava bem para Júpiter e Saturno, mas não para Vênus e Marte. iii) O modelo não explicava a desigualdade das estações, fato já conhecido na época. iv) Não explicava variações no diâmetro aparente da Lua ou no brilho dos planetas, o que mais tarde seria explicado (no modelo dos epiciclos) como sendo resultado de variações na distância dos corpos celestes com relação à Terra.

No total, Eudoxo postulou 27 esferas. Para resolver os problemas de seu modelo, Calipo de Cízico (c. 370-300 a.C.) postulou 34 esferas. Com isso, conseguiu dar conta do problema da desigualdade das estações.

Figura IX.3. A hipopédia de Eudoxo.

O passo seguinte foi dado por Aristóteles, que elaborou um modelo físico que correspondesse a esse modelo matemático, baseado em esferas cristalinas ocas. Colocou todos os planetas, Sol e Lua no mesmo sistema mecânico de esferas conectadas, e para cancelar o movimento das esferas superiores, teve que introduzir esferas “reagentes”. Usando o sistema de Calipo, chegou a 56 esferas ou, simplificando um pouco, 49. Um “movedor imóvel” teria feito o sistema funcionar.

Ao lado desses desenvolvimentos teóricos, vale mencionar que a acurácia (proximidade do valor medido com o valor “real”) das observações astronômicas também cresceu no período, apesar de os únicos instrumentos utilizados serem os primitivos “gnomon” (bastão vertical) e o “polos” (relógio solar).

 32 Seguimos nessa seção: LLOYD (1970), op. cit. (nota 1), pp. 80-98. As Figs. IX.1, 2, 3 foram retiradas deste texto, sendo que a Fig. IX.3 foi feita originalmente pelo renomado historiador da matemática e astronomia antigas, OTTO NEUGEBAUER (1953), The Exact Sciences in Antiquity, Brown U. Press, Providence. Em português, ver MARTINS, R.A. ([1990] 2003), “Introdução Geral ao Commentariolus de Nicolau Copérnico”, in COPÉRNICO, N. ([1510] 2003), Commentariolous, Ed. Livraria da Física, São Paulo, pp. 23-93.

Pitágoras

 Pitágoras recomendando o vegetarianismo

Na Antiguidade, Pitágoras dividiu com Tales o crédito pela introdução da filosofia no mundo grego. Nascido em Samos, um ilha da costa da Ásia Menor, por volta de 570 a. C., ao quarenta anos emigrou para Crotona, no extremo da Itália, onde teve papel destacado na vida política da cidade até ser banido em meio a uma violenta revolução por volta de 510 a. C. Mudou-se para uma localidade vizinha a Metaponto, onde morreu na virada do século. No período em que viveu em Crotona, Pitágoras fundou uma comunidade semi-religiosa que sobreviveu a seu fundador e se dispersou por volta de 450 a. C. Atribui-se a ele a invenção da palavra “filósofo”, na ocasião em que, em vez de declarar-se um sábio, ou homem de saber (sophos), ele disse com modéstia ser apenas um amante da sabedoria (philosophos) (DL 8,8). Os detalhes sobre sua vida estão submersos em lendas, mas não restam dúvidas sobre ter ele sido um praticante tanto da matemática como do misticismo.  Nestes dois campos sua influência intelectual, reconhecida ou implícita, foi forte durante a Antiguidade, de Platão a Porfírio.

A descoberta dos pitagóricos de que havia uma relação entre os intervalo musicais e as razões numéricas resultou na crença de que o estudo da matemática era a chave para o entendimento da estrutura e da ordem do universo. A astronomia e a harmonia, diziam, eram ciências irmãs, uma para os olhos e a outra para os ouvidos (Platão, Rep. 530d). Contudo, apenas dois mil anos depois Galileu e seus seguidores demonstraram em que sentido era verdade que o livro do universo é escrito em números. No mundo antigo a aritmética estava por demais vinculada á numerologia para que pudesse promover o progresso científico, e os autênticos avanços científicos do período ( como a zoologia de Aristóteles ou a medicina de Galeno) foram conquistados sem o concurso da matemática.

A comunidade de Pitágoras em Crotona foi o protótipo de muitas instituições similares: a ela seguiu-se a Academia de Platão, o Liceu de Aristóteles, o Jardim de Epicuro e muitas outras. Algumas dessas comunidades eram instituições legais, outras menos formais; algumas se assemelhavam a um moderno instituto de pesquisas, outras eram mais próximas de mosteiros. Os seguidores de Pitágoras dividiam sua propriedade e viviam sob a égide de regras ascéticas e cerimoniais, como manter o silêncio, não partir o pão, não recolher os farelos, não atiçar o fogo com uma espada, calçar sempre o pé direito antes do esquerdo, e assim por diante. Os pitagóricos não eram, para início de conversa, vegetarianos radicais, embora evitassem certos tipos de carne, peixe e aves. A mais conhecida de suas restrições era a proibição de comer feijão (KRS 271-2, 275-6).

As regras relativas à dieta eram atribuídas às crenças de Pitágoras sobre a alma, que, segundo ele, não morria com o corpo, mas migrava para algum outro lugar, talvez um animal de uma outra espécie. Alguns pitagóricos desenvolveram essa regra transformando-a na crença em um ciclo cósmico de três mil anos: uma alma humana, apos a morte (do corpo), entraria, morte apos morte, em todo tipo de criatura da terra, do mar ou do ar, para finalmente retornar a um corpo humano a fim de que o ciclo tornasse a se repetir (Heródoto 2, 123; KRS 285). Em relação a Pitágoras, contudo, seus seguidores acreditavam que ele se tornara um deus apos morrer. Escreveram a seu respeito biografias repletas de maravilhas, atribuindo a ele uma segunda visão e o dom da bilocação; diziam que tinha uma coxa de ouro e era filho de Apolo. Numa feição mais prosaica, a expressão Ipse dixit ( ele próprio disse ) teria sido concebida em sua homenagem.

 

KENNY, Anthony. Uma Nova História da Filosofia Ocidental. Volume I. Filosofia Antiga. Edições Loyola. PP. 31-33