Osvaldo Pessoa – Aula 9 – Tradições de Pesquisa na Astronomia Antiga (2/4)

2. A Matemática Helenista

A grande novidade da matemática grega do séc. V a.C. havia sido a busca de demonstrações rigorosas de teoremas. Dentro desta tradição, o mais antigo texto que  chegou até nós de maneira integral foram os Elementos de Euclides, escrito em torno de 300 a.C. em Alexandria.33 Ele reuniu os trabalhos de Eudoxo, Teeteto e outros matemáticos, sistematizouos, melhorou as demonstrações, e coligiu sua obra de acordo com o método axiomático, que já havia sido utilizado, mas que ele levou ao extremo. Além dos Elementos, que possui 13 volumes versando sobre geometria plana, teoria dos números e geometria sólida, Euclides escreveu sobre astronomia, óptica e teoria musical.

Nos Elementos, Euclides partiu de definições, opiniões comuns (axiomas, princípios auto-evidentes) e postulados (suposições geométricas). O número 1 foi tratado como a “unidade”, e os outros como “números” propriamente ditos, refletindo a noção parmenidiana de que o uno é indivisível. Dos cinco postulados básicos da geometria, destaca-se o último, que diz que dados uma reta e um ponto fora dela, em um plano, então há apenas uma paralela à reta que passa pelo ponto.

Passou então a demonstrar teoremas e a resolver problemas de construção. Dois métodos de argumentação se destacavam: o método da exaustão (devido a Eudoxo), que é exemplificado pela obtenção (aproximada) da área de um círculo pela geração de polígonos regulares inscritos com cada vez mais lados; e o método da redução ao absurdo, no qual nega-se a tese a ser provada e deduz-se uma contradição ou absurdo (por exemplo, a tese de que o número de primos é infinito).

Algumas décadas depois, apareceu o grande Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.). Escreveu sobre aritmética, geometria, óptica, estática, hidrodinâmica e engenharia, mas boa parte de sua obra se perdeu, restando apenas 9 tratados. No “Contador de Areia”, calculou quantos grãos de areia caberiam no universo inteiro, e para isso fez estimativas interessantes sobre o tamanho do universo, que concluiu que tivesse um diâmetro de 100 trilhões de estádios (1 estádio ≈ 157 metros). Chegou à cifra de 1063 grãos de areia! Nestes cálculos, Arquimedes introduziu uma notação plenamente satisfatória para exprimir números grandes. Em geometria, calculou o valor de π como 3 1/7 > π > 3 10/71 , e encontrou os valores aceitos para a superfície e volume de uma esfera. Seguiu o método de Euclides, fazendo uso de vários teoremas euclidianos em suas demonstrações. Arquimedes também utilizou princípios da estática (a lei da alavanca) em seus problemas de geometria, e concebeu áreas como somas de linhas paralelas. No entanto, salientou que tais métodos mecânicos devem ser usados apenas para descobrir respostas (síntese), mas não para demonstrá-las rigorosamente (análise). Em geral, na tradição grega, os matemáticos expunham apenas a análise e não a síntese.

Em seus estudos de mecânica, Arquimedes utilizou métodos da geometria. Em seu livro Do Equilíbrio dos Planos, sistematizou os teoremas da estática, apesar de não ter sido o primeiro a formular a lei da alavanca, que se encontra no corpo aristotélico. Sua hidrostática foi apresentada no tratado Dos Corpos Flutuantes, mas não faz menção da estória contada por Vitrúvio, de que teria saído da banheira gritando “Eureca!” ao descobrir como determinar se a coroa de ouro do rei Hiero estava adulterada com prata.

Outros dois matemáticos devem ser mencionados. Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) era amigo de Arquimedes, escrevia sobre temas de várias áreas e tornou-se chefe da Biblioteca de Alexandria. Descobriu um método para encontrar números primos e uma nova solução ao problema de encontrar um cubo de volume duas vezes maior do que outro. Seu mais importante trabalho, porém, foi na aplicação da matemática à geografia. Fez o primeiro mapa mundi com latitude e longitude.

Eratóstenes calculou também a circunferência da Terra, a partir de observações da sombra de um gnomon, ao meio dia, em duas cidades: Siene, na África, e Alexandria, localizada ao norte da primeira. As duas medições foram feitas na mesma hora, no solstício de verão, quando o Sol não deixa sombra no gnomon em Siene, localizada no Trópico de Câncer (Fig. IX.4). Seu valor de 39.690 km se aproxima bem do valor aceito atualmente (40.009 km), apesar de haver uma incerteza quanto ao valor de conversão da unidade “estádio”. Apolônio de Perga (c. 262-190) era mais jovem do que Eratóstenes e Arquimedes. Seu trabalho matemático mais importante é o Das Cônicas, onde investigou sistematicamente as seções do cone, que são a elipse, a parábola e a hipérbole.

33 As seções IX.2, 3, 4 e 6 seguem LLOYD (1973), op. cit. (nota 25), pp. 33-74, 113-35. As Figs. IX.4, IX.6 a 8, e X.1 foram tiradas deste livro.

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