Oswaldo Pessoa – Aula 3 – A Matemática Antiga 3/4

3. Os Postulados de Euclides
Euclides partiu de 23 definições, como a de ponto, que é “aquilo que não tem partes”, e reta, que é “um comprimento sem espessura […] que repousa equilibradamente sobre seus próprios pontos”. Em 1899, o alemão David Hilbert reformularia a axiomatização da geometria plana sem partir de definições primitivas: “ponto” e “reta” seriam definidos implicitamente pelos postulados.
Os cinco axiomas usados por Euclides, em notação moderna, são:

A1) Se A=B e B=C, então A=C.
A2) Se A=B e C=D, então A+C = B+C.
A3) Se A=B e C=D, então A–C = B–C.
A4) Figuras coincidentes são iguais em todos os seus aspectos.
A5) O todo é maior do que qualquer de suas partes.

Os cinco postulados da geometria plana são:

P1) Dois pontos determinam um segmento de reta.
P2) Um segmento de reta pode ser estendido para
uma reta em qualquer direção.
P3) Dado um ponto, há sempre um círculo em que
ele é centro, com qualquer raio.
P4) Todos os ângulos retos são iguais.
P5) Se a soma dos ângulos a e b for menor do que dois ângulos retos, então os segmentos de reta A e B se encontram, se forem estendidos suficientemente (ver Fig. III.3).
Figura III.3: Quinto
postulado de Euclides.

O postulado P5 é logicamente equivalente à proposição de que, dados uma reta A e um ponto P fora dela, passa apenas uma reta por P que seja paralela a A. Veremos mais à frente como a discussão do quinto postulado levou no séc. XIX às geometrias não-euclidianas. Com esses axiomas e postulados, deduz-se boa parte da geometria plana, como o teorema de Pitágoras. No entanto, a base de postulados não é completa. Por exemplo, Euclides supôs tacitamente que uma reta que passa pelo centro de um círculo passa também por dois pontos do círculo, mas isso não é dedutível da base de postulados! Além disso, muitas verdades geométricas que dependem da noção de limite, algumas das quais formuladas por Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), não são dedutíveis dos axiomas de Euclides.15
A geometria euclidiana foi o paradigma de conhecimento certo e verdadeiro, na ciência e filosofia, até o séc. XIX.
13 A figura foi retirada do seguinte sítio: http://www.jimloy.com/geometry/hedra.htm . Como curiosidade, vale mencionar que o matemático suiço Ludwig Schläfli provou em 1852 que em quatro dimensões euclidianas há seis “polítopos” regulares! Ver o sítio: http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html .
14 Isso tornou-se claro a partir da década de 1960, quando a hipótese do “quark” foi formulada a partir de considerações de simetria para as partículas elementares. O físico Werner Heisenberg exprimiu essa prioridade das simetrias da seguinte maneira: “Nossas partículas elementares são comparáveis aos corpos regulares do Timeu de Platão. São os modelos originais, as idéias de matéria. […] ‘No começo era a simetria’ é, certamente, uma expressão melhor do que o ‘No começo era a partícula’, de Demócrito.” HEISENBERG,W. (1996), A Parte e o Todo, Contraponto, Rio de Janeiro, pp. 278-9 (orig. em alemão: 1969).
TCFC I (2010) Cap. III – A Matemática Antiga
15 O presente relato foi obtido de SKLAR, L. (1974), Space, Time, and Spacetime, U. California Press, Berkeley, pp. 13-6. O livro de Euclides está disponível na internet, ou como: EUCLIDES (1999), Os Elementos, trad. I. Bicudo, Ed. da Unesp, São Paulo.

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