Oswaldo Pessoa – Aula 3 – A Matemática Antiga 2/4

2. Platão e a Matemática

Na segunda metade do séc. V, três fatores influenciaram o desenvolvimento do pensamento grego: 1) A expansão da educação, associada ao movimento dos sofistas, que ensinavam qualquer matéria, além das já tradicionais gramática, música e poesia, em troca de dinheiro. 2) Uma virada das preocupações com a filosofia da natureza para a ética, feita por Sócrates e por muitos sofistas, como Protágoras. 3) Atenas tornou-se o principal centro intelectual da Grécia.

Platão de Atenas (428-347 a.C.) herdou a preocupação moral de seu mestre, Sócrates, mas também fez contribuições importantes para a ciência. Fundou sua Academia em torno de 380 a.C., que agregou vários matemáticos, astrônomos e filósofos importantes. Apesar de se dedicar pouco a áreas particulares da ciência, Platão contribuiu de maneira significativa para a filosofia da ciência.

Na República, Platão descreveu a educação do filósofo-rei, que deveria governar a república, e salientou a importância da razão sobre a sensação. A astronomia platônica, por exemplo, seria uma astronomia abstrata, matemática. Sua abordagem de matematização da ciência vinha junto com um desprezo pela observação, mesmo em uma ciência como a acústica. Nesta obra, há uma célebre análise12 de quatro tipos de conhecimento,  representados como divisões de uma linha (Fig. III.1). A mera opinião abarca o reino do sensível, e engloba o conhecimento de sensações ou imagens sensíveis, e de objetos tidos como existentes no mundo material. Porém, a verdadeira ciência se dá na matemática. Esta, porém, pode estar restrita a instâncias de figuras geométricas, postuladas como “hipóteses”. Acima desta está a ciência das formas puras.

 

Figura III.1: Linha dos diferentes tipos de conhecimento, segundo Platão na República.

 

 

Um exemplo de forma pura seria a “triangularidade”, a essência de todos os triângulos. Ao passo que cada instância de triângulo ou é isóscele (pelo menos dois lados iguais), ou é escaleno (nenhum lado igual), à triangularidade não se pode atribuir nenhuma dessas duas propriedades. Haveria, porém, propriedades atribuíveis à triangularidade, como a soma dos ângulos internos ser 180°.

No Timeu, Platão apresenta uma cosmologia que parte da distinção entre o mundo mutável do vir-a-ser e as “formas” que existiriam de maneira eterna. Ele reconhece que qualquer especulação sobre o vir-a-ser do mundo não pode ser considerada verdadeira, mas isto por uma questão de princípio, e não por falta de evidência. Os problemas da física não podem ser resolvidos por métodos observacionais: tal atividade não passaria de mera “recreação”.

A cosmologia de Platão envolve as formas puras, as entidades particulares que são modeladas de acordo com as formas, e uma teleologia, personificada por um demiurgo, o artesão divino, que imporia ordem à matéria. Tal demiurgo não seria onipotente e nem teria criado o mundo.

Com relação à constituição da matéria, tomou os quatro elementos de Empédocles e os identificou com quatro sólidos regulares (Fig. III.2): fogo → tetraedro; ar → octaedro; água → icosaedro (20 faces); terra → cubo; o quinto sólido regular, o dodecaedro (12 faces) podia ser associada à matéria celeste. Como tais sólidos podem ser construídos a partir de unidades mais básicas (assim como as faces podem ser construídas de triângulos), Platão  sugeriu explicações para algumas transformações na natureza. Por exemplo, a água se transforma em vapor porque o icosaedro da água (20 triângulos) se transformaria em dois octaedros (8 triângulos cada) de ar e um tetraedro (4 triângulos) de fogo.

 

 

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

4 triângulos 6 quadrados 8 triãngulos 12 pentágonos 20 triângulos

 

Figura III.2: Os cinco poliedros regulares em três dimensões.13

 

Platão, desta maneira, deu um passo a mais no atomismo antigo, introduzindo uma descrição geométrica precisa dos átomos, e descrevendo as mudanças por meio de fórmulas matemáticas. Platão, porém, não aceitava o vácuo de Leucipo e Demócrito. De qualquer forma, o destaque que Platão deu às simetrias das formas puras, como princípio explicativo da natureza, encontraria eco na física teórica do séc. XX.14

Na seção IX.1 examinaremos o estímulo que Platão deu ao projeto de “salvar as aparências” do movimento dos corpos celestes, usando exclusivamente movimentos circulares uniformes, que considerava o mais perfeito.

11 Muitos detalhes da história da matemática podem ser obtidos de: EVES, H. (2004), Introdução à História da Matemática, trad. H.H. Domingues, Ed. Unicamp, Campinas (original em inglês: 1964). Sobre Hipaso, ver p. 107

12 PLATÃO (1965), A República, trad. J. Guinsburg, vol. 2, DIFEL, São Paulo (orig.: c. 380-360 a.C.), pp. 97-104 (509c-511e).

13 A figura foi retirada do seguinte sítio: http://www.jimloy.com/geometry/hedra.htm . Como curiosidade, vale mencionar que o matemático suiço Ludwig Schläfli provou em 1852 que em quatro dimensões euclidianas há seis “polítopos” regulares! Ver o sítio: http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html .

14 Isso tornou-se claro a partir da década de 1960, quando a hipótese do “quark” foi formulada a partir de considerações de simetria para as partículas elementares. O físico Werner Heisenberg exprimiu essa prioridade das simetrias da seguinte maneira: “Nossas partículas elementares são comparáveis aos corpos regulares do Timeu de Platão. São os modelos originais, as idéias de matéria. […] ‘No começo era a simetria’ é, certamente, uma expressão melhor do que o ‘No começo era a partícula’, de Demócrito.” HEISENBERG,W. (1996), A Parte e o Todo, Contraponto, Rio de Janeiro, pp. 278-9 (orig. em alemão: 1969).

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